Ganó dos veces la montaña del Giro de Italia y cuatro la de la Vuelta a España. Sumó diecisiete victorias como profesional. Andrés Oliva siempre ha sido considerado como uno de los mejores escaladores de la historia. Desde jovencito quiso emular las grandes gestas del que fue su gran ídolo, el gran Bahamontes, que fue quién le acogió en su equipo de La Casera cuando comenzó a despuntar. Ganó el campeonato de España juvenil y aficionado (León 68 y Mahón 69). En esta última categoría disputó tres mundiales, con un cuarto puesto como mejor clasificación, y otros seis como profesional, siendo noveno en Venezuela cuando ganó Eddy Merck. En todos hizo labores de gregario, siempre trabajando para el jefe de filas, labor que supo desempeñar a la perfección.
En 1975 conquistó el último campeonato de España de montaña, celebrado en Murcia, donde se subió tres veces la Cuesta del Gallo. Su equipo entonces era el Kas, considerado en esa época como el grupo más potente del pelotón mundial, con nada menos que cuatro líderes: Fuente, Perurena, Lasa y González Linares. No había más favorito que aquel equipo para conquistar la Vuelta a España de ese año, donde Oliva y otros compañeros estaban destinados a trabajar a tope para ayudar a ganar la carrera. El gran enemigo era el Súper Ser de Luis Ocaña y Tamames, este último vencedor a la postre después de realizar una magnífica última semana. Andrés Oliva se centró en disputar el Gran Premio de la montaña, que acechó desde el principio en enconada lucha con Abilleira, José Luis Viejo y Pedro Torres, todos ellos contrastados escaladores. El primero quedó descartado porque el reglamento dictaba que para ganar aquel premio había que acabar entre los 15 primeros de la clasificación general, y estaba muy lejos. A falta de una jornada para el final, Oliva adelantó a Torres al pasar primero el puerto de Orduña y lo refrendó un día después en el puerto de Etsegarate, de tercera categoría.
En el Giro de Italia Andrés Oliva trabajó para Francisco Galdós y, al mismo tiempo, para ganar la montaña. La carrera se decidió justo el último día y en el último puerto, el temible Stelvio y sus 23 kilómetros, cima Coppi de la carrera. Un día antes Andrés Oliva se escapó para adelantarse y esperar a su compañero, logrando puntuar en la mayoría de los puertos. En aquella última etapa, le dejaron actuar por libre y atacó para consolidar el gran premio de la montaña, pero no pudo evitar que la etapa y la maglia rosa se la tuvieran que jugar Galdós y Bertoglio en la subida al coloso alpino. Galdós intentó varias veces descolgar al italiano, que era líder con 40 segundos de ventaja, sin llegar a conseguirlo. Al final, la general de la montaña fue compartida por el mismo Galdós y Andrés Oliva.
En 1976 el corredor toledano volvió a hacer doblete, ganando la montaña del Giro y de la Vuelta a España. En la carrera italiana se enfundó el maillot al poco de comenzar al coronar en primer lugar el alto de Focce de la Carpinelli. En esta oportunidad pudo centrarse más en ese objetivo, sumando puntos en la mayoría de los puertos hasta la victoria final. Sin embargo, el éxito estuvo empañado por el fallecimiento de Santiesteban, con quién Andrés Oliva compartía habitación. En la Vuelta a España ganó un sorprendente José Pesarrodona en pugna con Luis Ocaña. En la montaña dominó claramente Andrés Oliva, quién aventajó en 47 puntos al belga Ludo Loos y en 70 al portugués Agostinho.
En 1977 volvió a ser el mejor del Gran Premio de la montaña en la Vuelta a España, aunque no se lo concedieron porque no acabó entre los 15 primeros de la general y fue para Pedro Torres, pero se desquitó un año después, logrando el maillot por delante de Enrique Cima.
Corrió el Tour de Francia en cuatro ocasiones, generalmente como gregario de López Carril. Los finalizó todos menos el último. Sumó 17 victorias como profesional, en diferentes etapas de la Vuelta a Suiza, el Dauphiné Liberé, Vuelta a Mallorca, Clásica de Sabiñánigo, Vuelta a Asturias o Vuelta a Cantabria. No ganó etapa alguna en las tres grandes vueltas, aunque estuvo cerca en la ronda española en 1978 en la etapa que concluyó en Segovia. Andrés Oliva se creyó ganador y levantó los brazos antes de tiempo, permitiendo que el avispado Cirylle Guimard le superara por media rueda. En otra que acabó en el puerto de Santo Domingo, en Bilbao, cedió en el esprint ante el gran Bernard Hinault.
