Nació en Hellín (Albacete), en el año 1902, y murió en el exilio venezolano, en un asilo de Caracas, en 1987. A la muerte de su padre abandonó los estudios y se dedicó al dibujo y en su población natal, entre otros trabajos, según Antonio Moreno García, hizo uno dedicado a la mujer hellinera, que ha venido siendo utilizado por parte de caramelos “La Elisa”, una empresa fundada en Hellín en 1850 y que todavía hoy funciona. A comienzo de los años veinte el joven Antonio marcha a Madrid y continúa su labor de formación artística con Bagaría.
La relación con la JAE fue de mero solicitante, cuando residía en la calle Provisiones de Madrid. Concretamente presentó solicitudes en las convocatorias de 1927 y 1928. En la correspondiente a 1927 afirma dedicarse a las “artes del dibujo”, que había celebrado con éxito una exposición en el Ateneo de Madrid, obtenido premio en el concurso del Diario Español de Buenos Aires y que colaboraba en diversas publicaciones. En ella pedía una pensión para ir a París y permanecer allí durante un año para entrar en contacto, escribía, con las últimas tendencias en el mundo de la ilustración. No le fue concedida y lo mismo ocurrió con la petición del siguiente año. Como tampoco le fue concedida una ayuda de la Diputación en 1926, a pesar de adjuntar con la petición, según Rubí Sanz Gamo, partida de nacimiento, certificado de pobre expedido en Madrid, recortes de periódicos diversos y una carta del académico José Francés, que consideraba a Cañavate “uno de los dibujantes y estampistas mejor dotados”. Otra petición a la Diputación de Albacete tuvo como consecuencia la compra en 1927 de uno de sus cuadros, concretamente, como cuenta Rubí Sanz, un dibujo a tinta china con el título de Los peces amaestrados, que se encuentra en el Museo de Albacete.
Por fin viaja a París, como quería al solicitar la pensión a la JAE, pero ahora a exponer sus obras que, cuentan las crónicas, fueron bien recibidas. A su vuelta a Madrid parece que estableció un taller propio, con dedicación principal a la ilustración de libros.
Tras el golpe fascista de los generales organizó, junto a otros compañeros dibujantes, el Sindicato de Profesiones de Bellas Artes y después puso en marcha un estudio de publicidad de guerra, dependiente del Ministerio de la Guerra, donde se realizaron numerosos carteles de propaganda. Entre ellos destaca S. E. el generalísimo, expuesto en París, y del que Picasso dijo: «No creo que se pueda expresar mejor en un cuadro a los que tanto mal están causando a España«. Por su actividad sufrió una condena a muerte, canjeada por una segunda pena de veinte años y una tercera de nueve, que cumplió (El País, 11-2-1987).
Tras huir a Venezuela Cañavate se ganó la vida dibujando caricaturas para publicaciones como Estampas (de el diario El Universal), además de celebrar exposiciones en diversas salas de dicho país.
