Nace en Bargas (Toledo) el 31 de marzo de 1912. Cursa los estudios primarios, secundarios y universitarios de Ciencias Exactas en Madrid, finalizados los cuales, entre octubre de 1934 y junio de 1936, consigue una beca de la JAE para estudiar teoría de conjuntos y funciones reales en la Universidad de París, bajo la dirección del profesor Denjoy.
Poco tiempo después, tras su regreso a España, estalla la Guerra Civil y combate en las filas del ejército republicano como oficial de artillería y oficial de Estado Mayor. Finalizada la contienda, y tras un corto periodo de exilio en París, recibe una llamada desde Argentina del profesor español Julio Rey Pastor, quien, sabiendo de su valía, no duda en correr personalmente con los gastos de desplazamiento y de encontrarle acomodo como profesor en el Instituto de Matemática de Buenos Aires, que Rey Pastor dirigía.
Tras su paso por dicho Instituto, se traslada a San Luis para colaborar con el profesor argentino Fausto Ismael Toranzos en la puesta en marcha del primer instituto universitario de esta ciudad, origen de lo que más tarde fue Escuela Matemática de San Luis. Balanzat estuvo en San Luis desde 1940 hasta 1947, y desde 1949 hasta 1955. Entre medias fue attaché de recherches del Centre National de la Recherche Scientifique de París, formando parte del grupo de investigadores en análisis general que dirigía el profesor Fréchet. Durante su desempeño en San Luis, Balanzat impartió diversos cursos de álgebra, geografía analítica, topología general, funciones reales y matemáticas especiales, además de las cátedras de análisis matemático y de fundamentación de las matemáticas. Fue director del Instituto de Matemática de la Facultad de Ciencias de San Luis, periodo en el que publicó trabajos de investigación en geometría integral y en topología general.
En agosto de 1955 Balanzat se traslada a Bariloche donde contribuye a fundar el Instituto de Física San Carlos de Bariloche (en la actualidad Instituto Balseiro), permaneciendo en él cinco años. En dicho Instituto organizó y dirigió la sección de matemáticas a nivel superior. En 1960 acepta una invitación de la Universidad Central de Venezuela y deja Bariloche para fijar su residencia en Caracas, en cuya universidad imparte cursos de análisis matemático, teoría de las distribuciones y análisis funcional. En 1962 es nombrado profesor de la Universidad de Clermont Ferrand, en Francia, en la que estuvo hasta 1966.
Transcurridos esos seis años de ausencia, Balanzat regresa definitivamente a Argentina para tomar posesión de la cátedra de Análisis Matemático de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Nacional de Buenos Aires. En 1977 es nombrado profesor emérito, pasando a la situación de retiro en 1986.
Balanzat fue, hasta 1994, año de su fallecimiento, que tuvo lugar en Buenos Aires, miembro honorario de la Unión Matemática Argentina y titular de la Academia Nacional de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Argentina.
Entre sus obras se puede recordar Introducción a la Matemática Moderna, editada en 1946 y en la que se adelanta a la tendencia de la denominada Matemática moderna, que se extenderá por todo el mundo, o El número natural y sus generalizaciones (1953).
