Máximo Parra y su mujer, Belén Cuenca, educaron musicalmente a varias generaciones de almanseños. Fue profesor, maestro de capilla, organista y director de coros. El maestro de capilla era un músico de experiencia y prestigio, siempre compositor, que formaba, gestionaba y dirigía al grupo de cantores e instrumentistas responsable de la música sacra en los oficios de las iglesias.
Se inició en la música como infantillo (cantor) en la capilla de la parroquia de la Purísima, de Albacete. Llegó a dominar el órgano y el piano de forma prácticamente autodidacta. En 1915 se trasladó a Almansa como sacristán-músico, aunque pronto pasó a ser maestro de capilla y organista de la iglesia arciprestal de la Asunción. Por entonces simultaneó esa actividad acompañando con el piano sesiones de cine mudo. Contrajo matrimonio con Belén Cuenca Clemente, la cual tenía cursada la carrera de Piano; tuvieron cinco hijos, y todos fueron músicos. El matrimonio Parra- Cuenca se dedicó a la docencia musical, supliendo con su actividad durante cincuenta años, la falta de un conservatorio en la ciudad, al tiempo que daba innumerables conciertos de piano a cuatro manos. Debido a su actividad en la música sacra, Parra pasó dificultades durante los años de la Guerra Civil, aunque mantuvo su acompañamiento de piano en sesiones de cine y fue nombrado gerente del Teatro Regio.
Fundó en 1924 un sexteto, la “Orquesta Regio”, que prosiguió hasta la década de 1960: lo componían un pianista (Parra), dos saxofones, un trompeta, un batería y un contrabajo. Fue el último maestro de capilla de la Iglesia de la Asunción, creador de una amplia biblioteca musical doméstica, que está catalogada y cultivador de la toma al oído de canciones populares, como el villancico popular A Belén camina, que recogió Carmen Ibáñez Ibáñez en su Cancionero de la provincia de Albacete (1967). Además, la coral de la iglesia de la Asunción representaba, como aficionados, zarzuelas.
Fue cofundador de la Unión Musical de Almansa y presidente de la sociedad dos veces (1931-1933 y 1949- 1954). Recibió un homenaje público e institucional en Almansa el 18 de febrero de 1951. En 1964, la compañía discográfica Columbia grabó un disco de la capilla de música de la Asunción, dirigida por Parra, que contenía el Himno a Nuestra Señora de Belén, de Pascual Marquina, el Ave Verum, de Rillé, y la Missa Secunda Pontificalis, de Lorenzo Perossi. Desde 1988 una calle de Almansa lleva su nombre.
